यदि A = intlimits_1^{sin theta } {frac{t}{{1 | vedclass

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Question

(D) सबसे पहले,$A = \int\limits_1^{\sin 	heta } {\frac{t}{{1 + {t^2}}}} dt$ का मूल्यांकन करें। मान लीजिए $u = 1 + t^2$,तो $du = 2t dt$। अतः,$A = \frac

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$2A^3$

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(D) सबसे पहले,$A = \int\limits_1^{\sin 	heta } {\frac{t}{{1 + {t^2}}}} dt$ का मूल्यांकन करें। मान लीजिए $u = 1 + t^2$,तो $du = 2t dt$। अतः,$A = \frac{1}{2} \ln(1 + t^2) \Big|_1^{\sin 	heta} = \frac{1}{2} \ln(1 + \sin^2 	heta) - \frac{1}{2} \ln(2) = \frac{1}{2} \ln\left(\frac{1 + \sin^2 	heta}{2}ight)$.इसके बाद,$B = \int\limits_1^{\csc 	heta } {\frac{dt}{{t(1 + t^2)}}}$ का मूल्यांकन करें। आंशिक भिन्नों का उपयोग करते हुए,$\frac{1}{t(1+t^2)} = \frac{1}{t} - \frac{t}{1+t^2}$।$B = \int\limits_1^{\csc 	heta } (\frac{1}{t} - \frac{t}{1+t^2}) dt = [\ln|t| - \frac{1}{2} \ln(1+t^2)]_1^{\csc 	heta} = [\ln(\frac{t}{\sqrt{1+t^2}})]_1^{\csc 	heta}$।$B = \ln(\frac{\csc 	heta}{\sqrt{1+\csc^2 	heta}}) - \ln(\frac{1}{\sqrt{2}}) = \ln(\frac{1}{\sqrt{\sin^2 	heta + 1}}) + \ln(\sqrt{2}) = \ln(\sqrt{\frac{2}{1+\sin^2 	heta}}) = -\frac{1}{2} \ln(\frac{1+\sin^2 	heta}{2})$।इस प्रकार,$A = -B$,जिसका अर्थ है कि $A + B = 0$।सारणिक में $A+B=0$ प्रतिस्थापित करने पर,पद $e^{A+B} = e^0 = 1$ प्राप्त होता है।सारणिक $\Delta = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} A & {{A^2}} & { - B} \ 1 & {{B^2}} & { - 1} \ 1 & {{A^2} + {B^2}} & { - 1} \end{array}} ight|$ बन जाता है।चूंकि $A = -B$,हमारे पास $A^2 = B^2$ और $-B = A$ है।$\Delta = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} A & {{A^2}} & A \ 1 & {{A^2}} & { - 1} \ 1 & {2{A^2}} & { - 1} \end{array}} ight|$।तीसरी पंक्ति से दूसरी पंक्ति घटाने पर: $\Delta = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} A & {{A^2}} & A \ 1 & {{A^2}} & { - 1} \ 0 & {{A^2}} & 0 \end{array}} ight|$।तीसरी पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर: $\Delta = -A^2 \cdot (-A - A) = -A^2(-2A) = 2A^3$।

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